(A) Matemática - 2. Algarismos significativos

Segue um pouco de teoria antes de entrarmos nos exercícios






Com a régua acima, se você medir o comprimento do lápis verá que ele está entre 9,2 e 9,3 cm. Quantos décimos de milímetros devemos considerar? É impossível precisar. O algarismo que deverá aparecer após o numero 9 não carrega a mesma certeza. Ele é, por esta razão, denominado duvidoso, e o 9 é correto. Então, a medida do comprimento do lápis deve ser expressa por dois algarismos. Por exemplo, 9,1 ;9,2 ou 9,3. Esses dois algarismos são denominados significativos.

Ao expressar a medida de uma grandeza física, é importante utilizar os algarismos corretos e o primeiro algarismo duvidoso. No nosso exemplo, não tem sentido registrar a medida do comprimento do lápis como 9,25 cm. O algarismo 5 é desnecessário, porque o 2 que o antecede já é um algarismo duvidoso.
Resumindo: Algarismos significativos, em uma medida, são aqueles que sabemos estarem corretos e mais o primeiro duvidoso.

Zeros à esquerda
Transformemos a medida d = 4,75 cm para quilômetros. Obteremos: d = 0,0000475 km. Se inicialmente a medida dada em cm apresentava três algarismos significativos, agora, expressa em km, com quantos ficou? É fácil perceber que a medida de dada em km continua intacta, tendo sido alterada apenas a unidade em que está apresentada. Os zeros à esquerda do 4 servem apenas para posicionar a vírgula que traduz a nova unidade em que a medida está dada.
Resumindo: Zeros à esquerda do primeiro algarismo diferente de zero não constituem algarismos significativos.

Zeros à direita
Consideremos agora um estudante que, dispondo de uma balança graduada em décimos de quilograma, realize a medição da massa de um material qualquer. Admitamos que o valor encontrado para a massa tenha sido m = 2,30 kg. Quantos algarismos significativos compõem a medida? A medida é composta por três algarismos significativos. O algarismo 2 e o três são corretos. O algarismo 0 (zero) é o primeiro duvidoso e é, também, significativo. Mas, zero é ou não é algarismo significativo? Depende. Zeros à esquerda do primeiro algarismo diferente de zero não são significativos; porém:
Zeros à direita do primeiro algarismo diferente de zero constituem algarismos significativos, desde que estejam enquadrados na definição apresentada.

Potência de dez
Toda quantidade pode ser expressa como um número decimal, multiplicado pela adequada potência de dez. Dessa forma, ao invés de escrever que o raio da Terra é aproximadamente 6.370.000 metros, escrevemos 6,37 x 106 metros. Nesta forma de escrever números, mostramos a limitada precisão de nosso conhecimento, omitindo todos os algarismos sobre os quais não temos informação. Assim, quando para o raio da Terra escrevemos 6,37 x 106 m e não 6,374 x 106 m ou 6,370 x 106 m, estamos dizendo que estamos razoavelmente seguros sobre o terceiro algarismo, mas não fazemos idéia do valor do quarto. Logo temos três algarismos significativos.


Introdução


Quando realizamos uma medida precisamos estabelecer a confiança que o valor encontrado para a medida representa.

Medir é um ato de comparar e esta comparação envolve erros dos instrumentos, do operador, do processo de medida e outros.

Podemos ter erros sistemáticos que ocorrem quando há falhas no método empregado, defeito dos instrumentos, etc... e erros acidentais que ocorrem quando há imperícia do operador, erro de leitura em uma escala, erro que se comete na avaliação da menor divisão da escala utilizada etc...

Em qualquer situação deve-se adotar um valor que melhor represente a grandeza e uma margem de erro dentro da qual deve estar compreendido o valor real.

Vamos aprender como determinar esse valor e o seu respectivo desvio ou erro.

Valor médio - Desvio médio

Quando você realiza uma medida e vai estimar o valor situado entre as duas menores divisões do seu aparelho de medida, você pode obter diferentes valores para uma mesma medida. 

Como exemplo, vamos medir o espaço (S) percorrido pelo PUCK utilizando uma régua milimetrada (a menor divisão é 1 mm).




Fig 1 - Medindo com uma régua milimetrada o espaço S.


Você observa que o valor de S ficou situado entre 5,80 e 5,90. Vamos supor que mentalmente você tenha dividido esse intervalo em 10 partes iguais e fez cinco medidas obtendo os valores de S apresentados na tabela 1.

N

SN (cm)

δ(S) (cm)

1

5,82

0,01

2

5,83

0,00

3

5,85

0,02

4

5,81

0,02

5

5,86

0,03

N=5

δSN = 29,17

δN= 0,08

Tab.1 - Valores obtidos para S e os respectivos desvios δ(S).

De acordo com o postulado de Gauss:

"O valor mais provável que uma série de medidas de igual confiança nos permite atribuir a uma grandeza é a média aritmética dos valores individuais da série".


Fazendo a média aritmética dos valores encontrados temos o valor médio, ou seja, o valor mais provável de S omo sendo:


Valor médio de S = (5,82 + 5,83 + 5,85 + 5,81 + 5,86) / 5 = 5,83 cm.


O erro absoluto ou desvio absoluto (δA) de uma medida é calculado como sendo a diferença entre valor experimental ou medido e o valor adotado que no caso é o valor médio:


 

δA = | valor adotado - valor experimental |

(1)


Calculando os desvios, obtemos:

δ1 = | 5,83 - 5,82 | = 0,01

δ2 = | 5,83 - 5,83 | = 0,00

δ3 = | 5,83 - 5,85 | = 0,02

δ4 = | 5,83 - 5,81 | = 0,02

δ5 = | 5,83 - 5,86 | = 0,03


O desvio médio de S será dado pela média aritmética dos desvios:


δmédioS = (0.01 + 0,00 + 0,02 + 0,02 + 0,03) / 5 = 0,02


O valor medido de S mais provável, portanto, será dado como:


 

S = Smédio ± δmédioS

(2)


S = 5,83 ± 0,02


Quando é realizada uma única medida, você considera desvio a metade da menor divisão do aparelho de medida. No caso da régua esse desvio é 0,05 cm. Uma única medida seria representada como:


S = 5.81 ± 0,05 cm

 

Erro ou desvio relativo

Vamos supor que você tenha medido o espaço compreendido entre dois pontos igual a 49,0 cm, sendo que o valor verdadeiro era igual a 50,00 cm. Com a mesma régua você mediu o espaço entre dois pontos igual a 9,00 cm, sendo que o valor verdadeiro era igual a 10,00 cm. Os erros absolutos cometidos nas duas medidas foram iguais:


δabsoluto 1 S= | 50,00 - 49,00 | = 1,00 cm

δabsoluto 2 S = | 10,00 - 9,00 | = 1,00 cm


Apesar de os erros ou desvios absolutos serem iguais, você observa que a medida 1 apresenta erro menor que a medida 2. Neste caso o erro ou desvio relativo é a razão entre o desvio absoluto e o valor verdadeiro.

Desvio relativo = desvio absoluto / valor verdadeiro.


Exemplo:

δrelativo1 S= 1 cm / 50 cm = 0,02

δrelativo2 S= 1 cm / 10 cm = 0,1


Isso nos mostra que a medida 1 apresenta erro 5 vezes menor que a medida 2. Os desvios relativos são geralmente representados em porcentagem, bastando multiplicar por 100 os desvios relativos encontrados anteriormente, obtendo:


δrelativo1 S = 2 %

δrelativo2 S = 10 %


Concluímos que o erro ou desvio relativo de uma medida de qualquer grandeza é um número puro, independente da unidade utilizada. Os erros relativos são de importância fundamental em tecnologia.

 

Propagação de erros

Para obtermos a densidade de um corpo temos que medir a massa do corpo e o volume. A densidade é obtida indiretamente pelo quociente entre a massa e o volume:

d = m / V

Como as grandezas medidas, massa e volume, são afetadas por desvios, a grandeza densidade também será. Para a determinação dos desvios correspondentes às grandezas que são obtidas indiretamente, deve-se investigar como os desvios se propagam através das operações aritméticas:

·  Soma e subtração

Na soma e subtração os desvios se somam, idependentemente do sinal.


 

δS = δS1 + δS2 + δS3 + ... + δSn


(3)

Vamos provar para dois desvios que por indução fica provado para n desvios.


Considerando as medidas S1 ± δS1 e S2 ± δS2, fazemos a soma:


S1 ± δS1 + S2 ± δS2 = (S1 +S2 ) ± (δS1 + δS2)


Portanto na soma, os desvios se somam.


Multiplicação e divisão


Na multiplicação e divisão os desvios relativos se somam.



δS/S = δS1 /S1 + δS2/S2 + δS3/S3 + ... + δSn/Sn

(4)


Provando novamente para dois desvios ficará provado para n desvios.
Fazendo a multiplicação:


(S1 ± δS1). (S2 ± δS2)= S1 S2 ± S1 δS2 ± S2 δS1 ± δS1 δS2


Desprezando-se a parcela δS1 δS2 (que é um número muito pequeno) e colocando S1 S2 em evidência, obtemos:


(S1 ± δS1 ). (S2 ± δS2 )= S1 S2 ± (δS1 / S1 + δS2 / S2)


Portanto na multiplicação, os desvios relativos se somam.

Algarismos significativos

Quando você realizou as medidas com a régua milimetrada (fig.1) do espaço S, você colocou duas casas decimais. é correto o que você fez?

Sim, porque você considerou os algarismos significativos.

Quando você mediu o valor de S = 5,81 cm com a régua milimetrada você teve certeza sobre os algarismos 5 e 8, que são os algarismos corretos (divisões inteiras da régua), sendo o algarismo 1 avaliado denominado duvidoso.
Consideramos algarismos significativos de uma medida os algarismos corretos mais o primeiro duvidoso.

Algarismos significativos = algarismos corretos +
primeiro algarismo duvidoso.
5,81 5,8 1

Sempre que apresentamos o resultado de uma medida, este será representado pelos algarismos significativos.
Veja que as duas medidas 5,81cm e 5,83m não são fundamentalmente diferentes, porque diferem apenas no algarismo duvidoso.

Observação:

Para as medidas de espaço obtidas a partir da trajetória do PUCK serão considerados apenas os algarismos corretos: não há necessidade de considerar o algarismo duvidoso já que não estamos calculando os desvios.
Os zeros à esquerda não são considerados algarismos significativos com no exemplo:

0,000123 contém apenas três algarismos significativos

Operações com algarismos significativos

Há regras para operar com algarismos significativos. Se estas regras não forem obedecidas você pode obter resultados que podem conter algarismos que não são significativos.

  • Adição e subtração

  • Vamos supor que você queira fazer a seguinte adição:

    250,657 + 0,0648 + 53,6 =

    Para tal veja qual parcela apresenta o menor número de algarismos significativos. No caso 53,6 que apresenta apenas uma casa decimal. Esta parcela será mantida e as demais serão aproximadas para uma casa decimal.
    Você tem que observar as regras de arredondamento que resumidamente são:

    Ao abandonarmos algarismos em um número, o último algarismo mantido será acrescido de uma unidade se o primeiro algarismo abandonado for superior a 5; quando o primeiro algarismo abandonado for inferior a 5, o último algarismo permanece invariável, e quando o primeiro algarismo abandonado for exatamente igual a 5, é indiferente acrescentar ou não uma unidade ao último algarismo mantido.

    No nosso exemplo teremos as seguinte aproximações:

    250,657 ~ 250,6

    0,0648  ~ 0,1

    Adicionando os números aproximados, teremos:

    250,6 + 0,1 + 53,6 = 304,3 cm

    Na subtração, você faz o mesmo procedimento.

  • Multiplicação e divisão

  • Vamos multiplicar 6,78 por 3,5 normalmente:

    6,78 x 3,5 = 23,73

    Aparece no produto algarismos que não são significativos.
    A seguinte regra é adotada:
    Verificar qual o fator que apresenta o menor número de algarismos significativos e apresentar no resultado apenas a quantidade de algarismo igual a deste fator, observando as regras de arredondamento.

    6,78 x 3,5 = 23,7

    Para a divisão o procedimento é análogo.

    Observação: As regras para operar com algarismos significativos não são rígidas. Poderia ser mantido perfeitamente um algarismo a mais no produto. Os dois resultados são aceitáveis:

    6,78 x 3,5 = 23,73 ou 6,78 x 3,5 = 23,7.


    Exercícios sobre algarismos significativos

    1) Indique o número de algarismos significativos de cada número abaixo:

    a) 12,00      b) 0,3300      c) 0,0015      d) 2,23. 109      e) 2008

     

    2) As medidas indicadas abaixo estão corretamente em algarismo significativos.

    a) 473 m                   b) 0,0705 cm                 c) 37 mm                          d) 37,0 mm

    Escreva-as em notação científica e indique os algarismos corretos e o primeiro duvidoso, em cada medida.

     

    3) O intervalo de tempo de um ano corresponde a quantos segundos? Dê sua resposta em notação científica e com dois algarismos significativos.

     

    4) O número de algarismo significativos de 0,00000000008065 cm é:

    a)      3                                       c) 11                                            e) 15  

    b)      4                                       d) 14              

     

    5) A medição do comprimento de um lápis foi realizada por um aluno usando uma régua graduada em mm. Das alternativas apresentadas,aquela que expressa corretamente a medida obtida é:

    a) 15 cm        b) 150 mm         c) 15,00 cm          d) 15,0 cm         e) 150,00 cm


    Operações com algarismos significativos


    6) Efetue as operações indicadas abaixo. Os números estão expressos corretamente em algarismos significativos. Dê a resposta em m.

     

     3,020 m + 0,0012 km + 320 cm   

     

    7) Efetue as operações indicadas abaixo. Os números estão expressos corretamente em algarismos significativos. Dê a resposta em m².

     

     4,33 m x 50,2 cm


    8) Uma lata contém 18,2 litros de água. Se você despejar mais 0,2360 litros, o volume terá o número de algarismos significativos igual a:

     

    a) dois. b) três. c) quatro d) cinco e) seis

     

    9) Um estudante, tendo medido o corredor de sua casa, encontrou os seguintes valores:      

    Comprimento: 5,7 m                 Largura: 1,25 m


    Desejando determinar a área deste corredor com a maior precisão possível, o estudante multiplica os dois valores anteriores e registra o resultado com o número correto de algarismos, isto é, somente com os algarismos que sejam significativos. Assim fazendo, ele deve escrever:

     

     a) 7,125 m2.     b) 7,12 m2.       c) 7,13 m2.       d) 7,1 m2.      e) 7 m2.

     

    10) Na medida de temperatura de uma pessoa por meio de um termômetro clínico, observou-se que o nível de mercúrio estacionou na região entre 38 ºC e 39 ºC da escala, como está ilustrado na figura. Após a leitura da temperatura, o médico necessita do valor transformado para uma nova escala, definida por tx = 2tc/3 e em unidades ºX, onde tc é a temperatura na escala Celsius. Lembrando de seus conhecimentos sobre algarismos significativos, ele conclui que o valor mais apropriado para a temperatura tx é:

     

    a) 25,7 ºX.
    b) 25,7667 ºX. 
    c) 25,766 ºX.
    d) 25,77 ºX.
    e) 26 ºX.
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